Каталог: Проектирование / Конструктивные решения / Ферма Мизеса как расчётная модель пологого сетчатого купола Назад в оглавление

Опубликованные научно-технические статьи ООО "ЦЭиПСК"

Общее количество статей: 121

Ферма Мизеса как расчётная модель пологого сетчатого купола

Уникальный номер статьи: 54; дата публикации: 12 июня 2016 г. 21:36

УДК 624.074.28.011.14:692.445

Д.ф.м.н., профессор Товстик П.Е. (СПбГУ), к.т.н., доцент Шеховцов В.А. (СПбГАСУ), к.т.н., ст. преп. Шеховцов А.С. (СПбГАСУ)

ФЕРМА МИЗЕСА КАК РАСЧЁТНАЯ МОДЕЛЬ ПОЛОГОГО СЕТЧАТОГО КУПОЛА ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ И ДЛИТЕЛЬНОМ НАГРУЖЕНИЯХ[1]

В экспериментальных исследованиях несущей способности деревянных стержневых элементов пологого сетчатого купола [1] испытывались модели, состоящие из двух стержней, сопряжённых под малым углом к горизонту и находящихся под действием вертикальной нагрузки. Такая конструкция модели известна как ферма Мизеса [2] (см. рис. 1).

Рис. 1. а - схема пологого сетчатого купола, б - расчетная схема испытываемой конструкции (фермы Мизеса); 1-1, 2-2, 3-3 – расчётные сечения, в которых были установлены тензодатчики и прогибомеры при проведении натурного исследования

В [1,3] при проведении численного эксперимента использовалась модель сжато-изогнутого стержня, при этом возникали некоторые трудности при определении величин продольных и поперечных нагрузок, действующих на конструктивный элемент. В отличие от [1,3] проведем анализ результатов эксперимента, основываясь на работе [2]. Рассмотрим ферму Мизеса пролётом  (рис. 2), состоящую из двух одинаковых стержней, шарнирно опёртых по концам О.

Рис.2. Ферма Мизеса в исходном положении и действующая на неё нагрузка

В узле А стержни скреплены упруго с заданной угловой жёсткостью. В исходном состоянии стержни наклонены под малыми углами  и  к горизонту. Предполагается, что опоры О и О1 не смещаются в горизонтальном направлении, расстояние между ними постоянно и равно . Стержни находятся под действием вертикальной нагрузки интенсивностью , где  - длина дуги нейтральной линии до деформации. Считаем, что смещения происходят в вертикальной плоскости. В силу предполагаемой симметрии нагрузки относительной узла А ограничимся рассмотрением левого стержня.

Согласно гипотезе Бернулли-Эйлера о плоских поперечных сечениях запишем систему уравнений равновесия элемента стержня в условиях его растяжения и плоского изгиба:

                                   , ,                         (1)

, .

где , , - внутренние осевая сила, перерезывающая сила и изгибающий момент, действующие в сечении стержня.  и  - проекции внутренних усилий на горизонтальное и вертикальное направления (см. рис. 3),  - деформация растяжения оси.

Рис. 3. Силы и момент, действующие на элемент стержня

Систему (1) дополним геометрическими соотношениями:

      , , , ,                 (2)

где  - декартовы координаты точки на оси стержня,  - кривизна упругой линии, - угол наклона оси к горизонту (см. рис. 2). На опорах О и А граничные условия имеют вид:

                                 ,  - при ;                                              (3)

                       , ,  - при ,                       (4)

где  - эксцентриситет приложения внутреннего продольного усилия  в рассматриваемом сечении.

При соблюдении гипотезы Бернулли-Эйлера имеем линейное распределение деформаций по толщине . Осевое усилие  и изгибающий момент  связаны с деформациями  и  соотношениями:

                           , ,                                (5)

где функция  описывает зависимость напряжений  от деформаций . Интегрирование распространяется  по площади  поперечного сечения. В общем случае функция  нелинейна.

В соответствии с методом пристрелки краевую задачу (1)-(4) свели к задаче Коши, задавая  и . Величина

                                  ,                                                  (6)

равна суммарной внешней вертикальной нагрузке. В результате численного интегрирования находятся значения всех неизвестных функций при . Величины  и  рассчитываются в соответствии с граничными условиями (4).

В процессе интегрирования на каждом шаге численно решается система уравнений (5), определются  и  по заданным N и . Вычисления проводятся при последовательном увеличении нагрузки . Однако при приближении  к предельному значению  алгоритм расходится.

Графическое сопровождение изменения прогибов расчётных сечений стержня под увеличивающейся нагрузкой в этот момент характеризуется неограниченным ростом отклонения расчётного сечения от первоначального невозмущенного положения, и критическая нагрузка соответствует критерию её определения в процессе численного решения .

Известным является тот факт, что при длительном действии нагрузки материал куполов может разрушаться при меньших напряжениях, чем при кратковременном загружении [4]. Для описания поведения древесины при длительном действии нагрузок предлагаются различные теории ползучести [5].

Изменение вязко-упругих свойств древесины можно проследить, используя уравнение Ю.Н. Работнова

                            ,                                                   (7)

где  - время наблюдения,  - текущее время.

Изложенный выше метод определения НДС фермы Мизеса позволяет перейти от установления критической нагрузки по потере устойчивости к определению эксплуатационной долговечности конструкций пологого деревянного сетчатого купола следующим образом.

При проведении численного эксперимента расчёт при кратковременном нагружении останавливается при нагрузках . Этот уровень нагрузки фиксируется, и принимается в дальнейшем .  При учете ползучести уравнения и граничные условия (1)-(4) сохраняют свой вид. Меняются лишь определяющие соотношения (5), которые теперь принимают вид:

                                               (8)

Соотношения (8) получаются при интегрировании по толщине формулы (7) в сочетании с гипотезой Бернулли-Эйлера. Как и ранее, из этих соотношений определяются функции  и далее проводится решение краевой задачи (1)-(4) по той же схеме. Однако, для вычисления интегралов в (8) необходимо запоминать функции   при .

Таким образом, задача исследования несущей способности модели фрагмента деревянного купола при ползучести разбивается на два этапа. На первом этапе выполняются численный и физический эксперименты по определению внешней критической нагрузки  по потере устойчивости стержнями фермы Мизеса. При этом определяется НДС расчётных сечений, т.е. вычисляются значения  продольных деформаций , , а также в соответствии с функциями  значения краевых напряжений ,  в расчётных сечениях.

На втором этапе исследуется изменение во времени НДС модели при длительном постоянном внешнем нагружении  и определяется критическое время, при котором отмечается исчерпание ее несущей способности.

Как указывалось ранее, в данной статье анализируются результаты исследования, полученные на первом этапе. Были испытано две одинаковых модели. Размеры испытываемых конструкций приведены на рис. 1 и в таблице 1, механические характеристики используемой древесины сосны при сжатии:  Физический эксперимент подробно описан в [1]. Данные о величинах сравниваемых при анализе параметров соотношения  между вертикальной внешней нагрузкой и возникающим продольным усилием , эксцентриситета  приложения продольного усилия  в узле А и величин  представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Отмечается совпадение теоретических и экспериментальных величин  и соотношения  между вертикальной внешней нагрузкой  и возникающим продольным усилием . При величине внешнего нагружения, лежащей в интервале от 0 до 0,6 , экспериментальные и теоретические величины сравниваемых параметров , , ,  практически одинаковы. Расхождение этих параметров наблюдается при уровнях нагружения конструкции, близких к предельному состоянию. Испытываемая конструкция при проведении физического эксперимента оказалась более податливой, чем предполагалось. Это объясняется тем, что стальной узел А не обеспечивал при нелинейном деформировании материала конструкции постоянной жёсткости.

Пример сравнения результатов изменения НДС сечений по данным физического эксперимента с результатами численного расчёта приведен для сечения 1-1 (см. рис.1б, рис. 4), в котором граничные условия были неизменными при проведении эксперимента (узел О оставался шарнирным на всех этапах нагружения).

Рис. 4. Распределение деформаций по поперечному сечению 1-1 по данным физического эксперимента и численного решения

На рис. 5 приведены графики изменения прогибов  сечения 2-2 испытываемой конструкции на различных этапах нагружения  до исчерпания несущей способности по потере устойчивости ().

Рис. 5. Зависимость «» для наиболее напряженного сечения 2-2; 1 – данные численного решения; 2 – данные физического эксперимента для модели № 1

В заключение можно сделать вывод, что расчётная модель фермы Мизеса более точно описывает изменение НДС деревянного фрагмента купола, чем модель сжато-изогнутого стержня и позволяет перейти к следующему этапу исследования – определению длительной прочности конструкции.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Шеховцов А.С., Шеховцов В.А. Экспериментальное исследование несущей способности стержневых элементов пологого деревянного сетчатого купола // Промышленное и гражданское строительство. -   2009. - № 5. – с. 50-51.
  2. Товстик П.Е., Шеховцов А.С. Нелинейный изгиб балки из разномодульного материала // Вестник СпбГУ. – 2007. - № 4.
  3. Шеховцов А.С. К вопросу устойчивости внецентренно-сжатых деревянных стержневых элементов сетчатых куполов // Промышленное и гражданское строительство. -   2007. - № 3. – с. 49-50.
  4. Квасников Е.Н. Вопросы длительного сопротивления древесины. Из-во литературы по строительству. Ленинград, 1972, 95 с.
  5. Шешукова Н.В., Михайлов Б.К. Длительная прочность и деформативность деревянных конструкций на нагельных соединениях. СПбГАСУ. СПб, 2006, 160 с.
  6. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М – Наука, 1966. 752 с.


[1] При поддержке Комитета по науке и высшей школе Правительства Санкт-Петербурга

Консультации технического отдела
+7-903-095-09-10 (Евгений)
Звоните в технический отдел в удобное для Вас время
gip@gip.su